DL-ordre
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :
=
+ $val29 ,
=
+ $val30 A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.
DL-ordre+
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :
= $val35 + $val29 ,
= $val36 + $val30 A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en 0 ?
DL-ordrex
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :
= $val35 + $val29 ,
= $val36 + $val30 A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.
DL-ordre-compos0
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en $val27 et en $val26 :
Peut-on calculer un développement limité de
en $val34 ?
DL-ordre-compos*
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en $val27 et en $val26 :
A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en $val34 ? Répondre -1 si les renseignements fournis ne sont pas suffisants pour pouvoir calculer un développement limité en $val34.
Dérivée I
Nous avons une fonction
dérivable d'ordre 3 et ayant un développement limité
= $val14 au voisinage de $val10. Que vaut la dérivée d'ordre $val11 de
au point $val10 ?
Dérivée II
Soit $val6 une fonction sur $m_RR, et supposons qu'on peut écrire
= $val18 . On peut en déduire que $val6 est dérivable en un certain point
. Donner la valeur de
et celle de $val7(
) .
Développements limités et notations 1
Soit $m_f une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit
dans ce voisinage. De quel ordre est le développement limité de $m_f au voisinage de l'origine ?
Développements limités et notations II
Soit
une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit, dans ce voisinage,
.
L'assertion suivante est-elle vraie ?
Estimation d'erreur I
Soit une fonction
dérivable à l'ordre 4 dans l'intervalle [$val11,$val12] et admettant le développement limité
=$val17 au voisinage de 0. On suppose que
sur [$val11,$val12]. Calculer l'erreur maximale obtenue en remplaçant
par $val15 sur [$val11,$val12].
Estimation d'erreur II
Soit une fonction
dérivable à l'ordre $val19 dans l'intervalle [$val14,$val15] et admettant le développement limité suivant
= $val26 au voisinage de $val11. On suppose que
sur cet intervalle, quelle est l'erreur maximale faite en remplaçant
par
$val24 sur [$val14,$val15] ?
Estimation d'erreur III
Soit une fonction
dérivable à l'ordre 4 sur $m_RR et admettant le développement limité suivant
= $val15 au voisinage de 0. On suppose que
. On veut remplacer
par $val13 sur un intervalle
sans introduire une erreur supérieure à $val11. Quelle est la valeur maximale de
possible ?
Tableau 2
Soit $val6 une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur $m_RR, avec le tableau de dérivées suivant : $val7 | $val6($val7) | $val6'($val7) | $val6''($val7) | $val6(3)($val7) |
---|
-$val21 | $val9 | $val10 | $val11 | $val12 |
0 | $val13 | $val14 | $val15 | $val16 |
$val21 | $val17 | $val18 | $val19 | $val20 |
Quelle est la partie principale du développement limité de $val6 d'ordre 2 au voisinage de $val23, c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité
$val6(x) = P(x) + o(($val24)2) ?
Tableau 3
Soit $val6 une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur $m_RR, avec le tableau de dérivées suivant : $val7 | $val6($val7) | $val6'($val7) | $val6''($val7) | $val6(3)($val7) |
---|
-$val21 | $val9 | $val10 | $val11 | $val12 |
0 | $val13 | $val14 | $val15 | $val16 |
$val21 | $val17 | $val18 | $val19 | $val20 |
Quelle est la partie principale du développement limité de $val6 d'ordre 3 au voisinage de $val23, c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité
$val6(x) = P(x) + o(($val24)3) ?
Tangente
La fonction $val6 admet au voisinage de $val15 le développement limité $val6(x) = $val22 Soit $val8 la tangente au graphe $val7 de $val6 au point ($val15, $val6($val15)). Quelle est la position du graphe $val7 de $val6 par rapport à $val8 au voisinage de $val15?
- $val7 est au-dessous de $val8.
- $val7 est au-dessus de $val8.
- $val7 est au-dessous de $val8 à gauche (quand
< $val15), et au-dessus de $val8 à droite (quand
> $val15).
- $val7 est au-dessus de $val8 à gauche, et au-dessous de $val8 à droite.
Formule de Taylor 2
Soit
une fonction
sur
à valeurs réelles.
Ecrire la formule de Taylor-$val9 à l'ordre 2 au point
(si besoin,
est un point convenable tel que
,
est une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers $val7):
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard !
En effet la formule de Taylor-$val9 à l'ordre 2 au point
s'écrit $val11
avec
une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers $val7
avec
un réel entre
et
. Soit
la fonction affine définie par
. On suppose que $val15
pour tout
vérifiant
.
Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de
pour
? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non
Valeur
Soit $val6 une fonction définie sur $m_RR et supposons qu'on peut écrire
= $val16 . On peut en déduire la valeur de $val6 en un certain point
. Donnez la valeur de
et celle de
.
Valeur II
Soit $val6 une fonction réelle, et supposons qu'on peut écrire $val6(x) = $val16 . On peut en déduire que $val6 est dérivable en un certain point
. Donnez la valeur de
, et celle de
.