Krožnice
Naj bo M množica vseh krožnic v kartezični ravnini. Na tej množici definiramo operaciji seštevanja krožnic in množenja krožnic s skalarji na naslednji način: - Če imata krožnici K1 in K2 središči (x1,y1) in (x2,y2) ter polmera $val19, potem je njuna vsota K1 + K2 krožnica s središčem (x1+x2,y1+y2) in polmerom $val20.
- Če ima krožnica K središče (x,y) in polmer $val21, je njen produkt z realnim skalarjem a krožnica aK s središčem (ax,ay) in polmerom $val22.
Ali je tako opremljena množica M vektorski prostor nad poljem realnih števil?
Prostor preslikav
Naj bo M množica vseh preslikav f: $val20 ---> $val21 , ki jo opremimo z operacijama seštevanja in množenja preslikave s skalarjem na naslednji način:
- Če sta f1 in f2 dve preslikavi iz množice M, potem je njuna vsota preslikava f1+f2: $val20 --> $val21, definirana s predpisom (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x) za vsak x iz množice $val20 (seštevanje preslikav "po točkah").
- Če je f preslikava iz množice M in a neko realno število, potem je njun produkt preslikava af: $val20 --> $val21, definirana s predpisom (af)(x)=a(f(x)) za vsak x iz množice $val20 (množenje preslikave s skalarjem "po točkah").
Ali je takšna algebrska struktura M vektorski prostor nad poljem R ?
Absolutna vrednost
Naj bo M=R2 množica vseh urejenih parov realnih števil. Operaciji seštevanja urejenih parov in množenja urejenih parov s skalarji definiramo na naslednji način: - (x$val17,y$val17)+(x$val18,y$val18) = (x$val17+x$val18,y$val17+y$val18).
- a(x,y) = (|a|x,|a|y).
Ali je dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem R?
Afina premica
Naj bo M premica v ravnini, določena z enačbo c1x+c2y=c3, in naj bo T$val22=(x$val22,y$val22) neka izbrana točka na tej premici. Za točke iz množice M definiramo operaciji seštevanja točk in množenja točke z realnim skalarjem na naslednji način:
- $val19$val23+$val19$val24 = $val25 za točki $val19$val23=(x$val23,y$val23), $val19$val24=(x$val24,y$val24) iz premice M.
- $val18$val19 = $val26 za točko $val19=(x,y) iz premice M in realni skalar $val18.
Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?
Drugačno seštevanje
Naj bo M množica urejenih parov realnih števil, na kateri definiramo operaciji seštevanja urejenih parov in množenja urejenega para z realnim skalarjem na naslednji način: - (x$val17,y$val17)+(x$val18,y$val18) = (x$val17+y$val18,y$val17+x$val18).
- a(x,y) = (ax,ay).
Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?
Polja
Ali je množica vseh $val23 z običajnima operacijama vektorski prostor nad poljem $val22?
Matrike
Naj bo
množica vseh realnih
matrik, ki jo opremimo z običajnim seštevanjem, množenje matrike in realnega skalarja pa definiramo na naslednji način: $m_par Za matriko
iz
in realno število
naj bo
. Ali je tako dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem R?
Matrike II
Množico matrik $val23 koeficienti $val27 opremimo z običajnima operacijama seštevanja matrik in množenja matrike s skalarji. Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem $val22 števil?
Množenje je deljenje
Naj bo M množica urejenih parov realnih števil, ki jo opremimo z običajnim seštevanjem urejenih parov, množenje urejenega para z realnim skalarjem pa definiramo na naslednji način: - a(x,y) = (x/a , y/a), če je a različen od 0, in
- 0(x,y)=(0,0).
Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?
Neničelna števila
Na množici M vseh $val20 realnih števil definiramo operaciji $val6 (seštevanje elementov iz M) in $val7 (množenje elementov iz M z realnimi skalarji) na naslednji način: - x $val6 y=xy (za vsoto vzamemo običajen produkt!).
- a $val7 x=xa (x na eksponent a).
Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?
Transafine operacije
Naj bo M množica vseh urejenih parov realnih števil. Operaciji $val6 (seštevanje urejenih parov) in $val7 (množenje urejenega para s skalarjem) definiramo na naslednji način: - (x$val19,y$val19) $val6 (x$val20,y$val20) = (x$val19+x$val20$val24,y$val19+y$val20$val25).
- a $val7 (x,y) = (ax$val26($val28),ay$val27($val28)).
Ali je tako definirana algebrska struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?
Transkvadratne operacije
Na množici urejenih parov $m_RR² definiramo operaciji $val6 (seštevanje urejenih parov) in $val7 (množenje urejenega para in skalarja) z naslednjima predpisoma: - (x$val19,y$val19)+(x$val20,y$val20) = (x$val19+x$val20,y$val19+y$val20$val23$val27$val19$val27$val20).
- a$val7(x,y) = (ax,ay$val24($val25)$val272).
Ali je dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?
Enotska krožnica
Naj bo M krožnica v ravnini, določena z enačbo x2+y2=1. Potem za vsako točko (x,y) iz M obstaja realno število t, tako da je x=cos(t), y=sin(t), zato lahko operaciji seštevanja točk in množenja točke s skalarjem definiramo s predpisoma: - (cos(t1),sin(t1))+ (cos(t2),sin(t2))= (cos(t1+t2),sin(t1+t2)).
- a(cos(t), sin(t))= (cos(at), sin(at)).
Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?