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23. Equações Diferenciais


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23.1 Definições para Equações Diferenciais

Função: bc2 (solução, xval1, yval1, xval2, yval2)

Resolve problema do valor limite para equações diferenciais de segunda ordem. Aqui: solução é uma solução geral para a equação, como encontrado por ode2, xval1 é uma equação para a variável independente na forma x = x0, e yval1 é uma equação para a variável dependente na forma y = y0. A xval2 e a yval2 são equações para essas variáveis em outro ponto. Veja ode2 para exemplo de utilização.

Função: desolve (eqn, x)
Função: desolve ([eqn_1, ..., eqn_n], [x_1, ..., x_n])

A função dsolve resolve sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares usando transformada de Laplace. Aqui as eqn's são equações diferenciais nas variáveis dependentes x_1, ..., x_n. A relação funcional deve ser explicitamente indicada em ambas as equações e as variáveis. Por Exemplo

 
'diff(f,x,2)=sin(x)+'diff(g,x);
'diff(f,x)+x^2-f=2*'diff(g,x,2);

não é o formato apropriado. O caminho correto é:

 
'diff(f(x),x,2)=sin(x)+'diff(g(x),x);
'diff(f(x),x)+x^2-f=2*'diff(g(x),x,2);

A chamada é então desolve([%o3,%o4],[f(x),g(x)]); .

Se as condições iniciais em 0 são conhecidas, elas podem ser fornecidas antes chamando desolve através de atvalue.

 
(%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
                 d           d
(%o1)            -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
                 dx          dx
(%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
                  2
                 d            d
(%o2)            --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
                   2          dx
                 dx
(%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
(%o3)                           a
(%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
(%o4)                           1
(%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
                  x
(%o5) [f(x) = a %e  - a + 1, g(x) = 

                                                x
                                   cos(x) + a %e  - a + g(0) - 1]
(%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
             x       x      x                x
(%o6)   [a %e  = a %e , a %e  - cos(x) = a %e  - cos(x)]

Se desolve não pode obter uma solução, retorna false.

Função: ic1 (solução, xval, yval)

Resolve o problema do valor inicial para equação diferencial de primeira ordem. Aqui: solução é uma solução geral para a equação, como encontrado por ode2, xval é uma equação para a variável independente na forma x = x0, e yval é uma equação para a variável dependente na forma y = y0. Veja ode2 para exemplo de utilização.

Função: ic2 (solução, xval, yval, dval)

Resolve o problema do valor inicial para equação diferencial de segunda ordem. Aqui: solução é uma solução geral para a equação, como encontrado por ode2, xval é uma equação para a variável independente na forma x = x0, yval é uma equação para a variável dependente na forma y = y0, e dval é uma equação para a derivada da variável dependente com relação à variável independente avaliada no ponto xval. Veja ode2 para exemplo de utilização.

Função: ode2 (eqn, dvar, ivar)

A função ode2 resolve equações diferenciais ordinária ou de primeira ou de segunda ordem. Recebe três argumentos: uma EDO eqn, a variável dependente dvar, e a variável independenteivar. Quando obtém sucesso, retorna ou uma solução (explícita ou implícita) para a variável dependente. %c é usado para representar a constante no caso de equações de primeira ordem, e %k1 e %k2 as constantes para equações de segunda ordem. Se ode2 não pode obter a solução por alguma razão, retorna false, após talvez mostra uma mensagem de erro. O método implementado para equações diferenciais de primeira ordem na seqüência na qual eles são testados são: linear, separável, exato - talvez requerendo um fator de integração, homogêneos, equação de Bernoulli, e um método homogêneo geral. Para segunda ordem: coeficiente constante, exato, linear homogêneo com coeficientes não-constantes os quais podem ser transformados para coeficientes constates, o Euler ou equação equidimensional, o método de variação de parâmetros, e equações as quais são livres ou da variável independente ou da dependente de modo que elas possam ser reduzidas duas equações lineares de primeria ordem para serem resolvidas seqüêncialmente. No curso de resolver EDOs, muitas variáveis são escolhidas puramente para propósitos informativos: método denota o método de solução usado e.g. linear, intfactor denota qualquer fator de integração usado, odeindex denota o índice para o método de Bernoulli ou para o método homogêneo generalizado, e yp denota a solução particular para a técnica de variação de parâmetros.

Com o objetivo de resolver os problemas dos valores iniciais (PVIs) e problemas dos valores limite (PVLs), a rotina ic1 está disponível para equações de primeira ordem, e ic2 e bc2 para segunda ordem PVIs e PVLs, respectively.

Example:

 
(%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
                      2 dy           sin(x)
(%o1)                x  -- + 3 x y = ------
                        dx             x
(%i2) ode2(%,y,x);
                             %c - cos(x)
(%o2)                    y = -----------
                                  3
                                 x
(%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0);
                              cos(x) + 1
(%o3)                   y = - ----------
                                   3
                                  x
(%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
                         2
                        d y      dy 3
(%o4)                   --- + y (--)  = 0
                          2      dx
                        dx
(%i5) ode2(%,y,x);
                      3
                     y  + 6 %k1 y
(%o5)                ------------ = x + %k2
                          6
(%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
                             3
                          2 y  - 3 y
(%o6)                   - ---------- = x
                              6
(%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
                         3
                        y  - 10 y       3
(%o7)                   --------- = x - -
                            6           2


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