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16. Funciones Especiales


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16.1 Introducción a las Funciones Especiales


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16.2 specint

El paquete hypgeo permite calcular transformadas de Laplace de funciones especiales, mientras que hyp es otro paquete destinado al cálculo de funciones hipergeométricas generalizadas.

Por otro lado, specint tiene por objeto calcular la integral definida (en el intervalo que va desde cero hasta infinito) de expresiones que contengan funciones especiales. Cuando el integrando contenga el factor exp (-s t), el resultado no es otro que la transformada de Laplace.

La sintaxis es la siguiente:

 
specint (exp (-s*t) * expr, t);

donde t es la variable de integración y expr es una expresión que contiene funciones especiales.

Si specint no puede calcular la integral, la respuesta que se obtiene puede contener símbolos de Lisp, entre los que se incluyen other-defint-to-follow-negtest, other-lt-exponential-to-follow, product-of-y-with-nofract-indices, etc.; este es un fallo conocido del programa.

A continuación se especifican las notaciones correspondientes a las funciones especiales:

 
bessel_j (index, expr)    Función de Bessel de primera especie
bessel_y (index, expr)    Función de Bessel de segunda especie
bessel_i (index, expr)    Función de Bessel modificada de primera especie
bessel_k (index, expr)    Función de Bessel modificada de segunda especie
%he[n] (z)                Polinomio de Hermite (Ojo: he, no h. Ver A&S 22.5.18)
%p[u,v] (z)               Función de Legendre de primera especie
%q[u,v] (z)               Función de Legendre de segunda especie
hstruve[n] (z)            Función H de Struve
lstruve[n] (z)            Función L de Struve
%f[p,q] ([], [], expr)    Función hipergeométrica generalizada
gamma()                   Función Gamma
gammagreek(a,z)           Función Gamma incompleta
gammaincomplete(a,z)      Extremo de la función Gamma incompleta
slommel
%m[u,k] (z)               Función de Whittaker de primera especie
%w[u,k] (z)               Función de Whittaker de segunda especie
erfc (z)                  Complemento de la función de error, erf
ei (z)                    Integral exponencial (?)
kelliptic (z)             Integral elíptica completa de primera especie (K)
%d [n] (z)                Función cilíndrica parabólica

Con la instrucción demo ("hypgeo") se podrán ver algunos ejemplos de transformadas de Laplace calculadas por specint.

Este paquete aún está en desarrollo, por lo que algunos nombres de funciones pueden sufrir cambios.


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16.3 Definiciones para las Funciones Especiales

Función: airy (x)

Función Ai de Airy. Si el argumento x es un número, se obtiene el valor numérico de airy (x). En caso contrario, se devuelve la expresión no evaluada airy (x).

La ecuación de Airy diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0 tiene dos soluciones linealmente independientes, llamadas ai y bi. Esta ecuación es muy utilizada para obtener aproximaciones a problemas complejos en muchos ámbitos de la física matemática.

La instrucción load ("airy") carga las funciones ai, bi, dai y dbi.

El paquete airy contiene algoritmos para calcular ai y bi, así como sus derivadas dai y dbi. El resultado es un número decimal en coma flotante si el argumento es a su vez un número, en caso contrario será una expresión no evaluada.

Se producirá un error si el argumento es lo suficientemente grande como para que los exponenciales causen un desbordamiento (overflow), o una pérdida de precisión en el sin o en el cos. Con esto, el rango de validez es aproximadamente entre -2800 y 10^38 para ai y dai, y entre -2800 y 25 para bi y dbi.

Maxima reconoce las siguientes derivadas:

Los valores de las funciones se calculan a partir del desarrollo convergente de Taylor para abs(x) < 3, y de las expansiones asintóticas para x < -3 o x > 3, según sea necesario. Con esto se consiguen discrepancias numéricas despreciables en x = 3 y x = -3. Para detalles, véase Abramowitz y Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Sección 10.4 y Tabla 10.11.

La llamada ev (taylor (ai(x), x, 0, 9), infeval) devuelve el desarrollo de Taylor con números decimales de la función ai. Se puede escribir una expresión similar para bi.

Función: airy_ai (x)

Función Ai de Airy, tal como la definen Abramowitz y Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Sección 10.4.

La ecuación de Airy diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0 tiene dos soluciones linealmente independientes, y = Ai(x) y y = Bi(x). La derivada diff (airy_ai(x), x) es airy_dai(x).

Si el argumento x es un número decimal real o complejo, se devolverá el valor numérico de airy_ai siempre que sea posible.

Véanse airy_bi, airy_dai y airy_dbi.

Función: airy_dai (x)

Es la derivada de la función Ai de Airy, airy_ai(x).

Véase airy_ai.

Función: airy_bi (x)

Es la función Bi de Airy, tal como la definen Abramowitz y Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Sección 10.4. Se trata de la segunda solución de la ecuación de Airy diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0.

Si el argumento x es un número decimal real o complejo, se devolverá el valor numérico de airy_bi siempre que sea posible. En los otros casos, se devuelve la expresión sin evaluar.

La derivada diff (airy_bi(x), x) es airy_dbi(x).

Véanse airy_ai y airy_dbi.

Función: airy_dbi (x)

Es la derivada de la función Bi de Airy, airy_bi(x).

Véanse airy_ai y airy_bi.

Función: asympa

El paquete asympa contiene funciones de simplificación para realizar análisis asintótico, incluyendo las funciones "big O" y "little o", de uso frecuente en el análisis complejo y numérico.

La instrucción load ("asympa") carga este paquete.

Función: bessel (z, a)

Función de Bessel de primera especie.

Ya no se recomienda su uso. Utilícese bessel_j (z, a) en su lugar.

Función: bessel_j (v, z)

Función de Bessel de primera especie de orden v y argumento z.

La función bessel_j calcula el arreglo besselarray tal que besselarray [i] = bessel_j [i + v - int(v)] (z) para i desde cero hasta int(v).

La función bessel_j se define como

 
                inf
                ====       k  - v - 2 k  v + 2 k
                \     (- 1)  2          z
                 >    --------------------------
                /        k! gamma(v + k + 1)
                ====
                k = 0

aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.

Función: bessel_y (v, z)

Función de Bessel de segunda especie de orden v y argumento z.

La función bessel_y calcula el arreglo besselarray tal que besselarray [i] = bessel_y [i + v - int(v)] (z) para i desde cero hasta int(v).

La función bessel_y se define como

 
              cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)
              -------------------------------------------
                             sin(%pi v)

si v no es un entero. En caso de que v sea un entero n, se calcula el límite cuando v se aproxima a n.

Función: bessel_i (v, z)

Función modificada de Bessel de primera especie de orden v y argumento z.

La función bessel_i calcula el arreglo besselarray tal que besselarray [i] = bessel_i [i + v - int(v)] (z) para i desde cero hasta int(v).

La función bessel_i se define como

 
                    inf
                    ====   - v - 2 k  v + 2 k
                    \     2          z
                     >    -------------------
                    /     k! gamma(v + k + 1)
                    ====
                    k = 0

aunque la serie infinita no se utiliza en los cálculos.

Función: bessel_k (v, z)

Función modificada de Bessel de segunda especie de orden v y argumento z.

La función bessel_k calcula el arreglo besselarray tal que besselarray [i] = bessel_k [i + v - int(v)] (z) para i desde cero hasta int(v).

La función bessel_k se define como

 
           %pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z))
           -------------------------------------------------
                                  2

si v no es un entero. Si v es igual al entero n, entonces se calcula el límite cuando v tiende a n.

Variable optativa: besselexpand

Valor por defecto: false

Controla la expansión de las funciones de Bessel cuando el orden es la mitad de un entero impar. En tal caso, las funciones de Bessel se pueden expandir en términos de otras funciones elementales. Si besselexpand vale true, se expande la función de Bessel.

 
(%i1) besselexpand: false$
(%i2) bessel_j (3/2, z);
                                    3
(%o2)                      bessel_j(-, z)
                                    2
(%i3) besselexpand: true$
(%i4) bessel_j (3/2, z);
                          2 z   sin(z)   cos(z)
(%o4)                sqrt(---) (------ - ------)
                          %pi      2       z
                                  z
Función: j0 (x)

Función de Bessel de primera especie de orden 0.

Ya no se recomienda su uso. Utilícese bessel_j (0, x) en su lugar.

Función: j1 (x)

Función de Bessel de primera especie de orden 1.

Ya no se recomienda su uso. Utilícese bessel_j (1, x) en su lugar.

Función: jn (x, n)

Función de Bessel de primera especie de orden n.

Ya no se recomienda su uso. Utilícese bessel_j (n, x) en su lugar.

Función: i0 (x)

Función modificada de Bessel de primera especie de orden 0.

Ya no se recomienda su uso. Utilícese bessel_i (0, x) en su lugar.

Función: i1 (x)

Función modificada de Bessel de primera especie de orden 1.

Ya no se recomienda su uso. Utilícese bessel_i (1, x) en su lugar.

Función: beta (x, y)

Función beta, definida como gamma(x) gamma(y)/gamma(x + y).

Función: gamma (x)

Función gamma.

Véase también makegamma.

La variable gammalim controla la simplificación de la función gamma.

La constante de Euler-Mascheroni es %gamma.

Variable optativa: gammalim

Valor por defecto: 1000000

La variable gammalim controla la simplificación de la función gamma con argumentos enteros o racionales. Si el valor absoluto del argumento no es mayor que gammalim, entonces se realizará la simplificación. Nótese que la variable factlim también controla la simplificación del resultado de gamma con argumento entero.

Función: intopois (a)

Convierte a en un codificado Poisson.

Función: makefact (expr)

Transforma las funciones binomial, gamma y beta que aparecen en expr en su notación factorial.

Véase también makegamma.

Función: makegamma (expr)

Transforma las funciones binomial, factorial y beta que aparecen en expr en funciones gamma.

Véase también makefact.

Función: numfactor (expr)

Devuelve el factor numérico que multiplica a la expresión expr, la cual debe tener un único término.

 
(%i1) gamma (7/2);
                          15 sqrt(%pi)
(%o1)                     ------------
                               8
(%i2) numfactor (%);
                               15
(%o2)                          --
                               8
Función: outofpois (a)

Convierte a desde codificado de Poisson a una representación general. Si a no está en forma de Poisson, outofpois hace la conversión, siendo entonces el valor retornado outofpois (intopois (a)). Esta función es un simplificador canónico para sumas de potencias de senos y cosenos.

Función: poisdiff (a, b)

Deriva a con respecto a b. El argumento b debe aparecer sólo en los argumentos trigonométricos o sólo en los coeficientes.

Función: poisexpt (a, b)

Idéntico a intopois (a^b). El argumento b debe ser un entero positivo.

Variable optativa: poislim

Valor por defecto: 5

La variable poislim determina el dominio de los coeficientes en los argumentos de las funciones trigonométricas. El valor por defecto 5 corresponde al intervalo [-2^(5-1)+1,2^(5-1)], o [-15,16], pero puede reasignarse para [-2^(n-1)+1, 2^(n-1)].

Función: poisplus (a, b)

Idéntico a intopois (a + b).

Función: poissimp (a)

Convierte a en una serie de Poisson para a en su representación general.

Símbolo especial: poisson

El símbolo /P/ sigue a la etiqueta de las líneas que contienen expresiones que son series de Poisson.

Función: poissubst (a, b, c)

Sustituye b por a en c, donde c es una serie de Poisson.

(1) Si b es una de las variables u, v, w, x, y o z, entonces a debe ser una expresión lineal en esas variables (por ejemplo, 6*u + 4*v).

(2) Si b no es ninguna de esas variables, entonces a no puede contener tampoco a ninguna de ellas, ni senos, ni cosenos.

Función: poistimes (a, b)

Idéntico a intopois (a*b).

Función: printpois (a)

Presenta una serie de Poisson en un formato legible. Conjuntamente con outofpois, si es necesario convertirá a primero en una codificación de Poisson.

Función: psi (x)
Función: psi [n](x)

Derivada de log (gamma (x)).

Maxima no calcula el valor numérico de psi. Sin embargo, la función bfpsi del paquete bffac puede calcular valores numéricos.


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