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32. Teoría de Números


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32.1 Definiciones para Teoría de Números

Función: bern (n)

Devuelve el n-ésimo número de Bernoulli del entero n. Los números de Bernoulli iguales a cero son suprimidos si zerobern vale false.

Véase también burn.

 
(%i1) zerobern: true$
(%i2) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]);
                  1  1       1      1        1
(%o2)       [1, - -, -, 0, - --, 0, --, 0, - --]
                  2  6       30     42       30
(%i3) zerobern: false$
(%i4) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]);
            1  1    1   5     691   7    3617  43867
(%o4) [1, - -, -, - --, --, - ----, -, - ----, -----]
            2  6    30  66    2730  6    510    798
Función: bernpoly (x, n)

Devuelve el n-ésimo polinomio de Bernoulli de variable x.

Función: bfzeta (s, n)

Devuelve la función zeta de Riemann para el argumento s. El valor que devuelve es del tipo "big float" (bfloat) y n es su número de dígitos.

Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("bffac").

Función: bfhzeta (s, h, n)

Devuelve la función zeta de Hurwitz para los argumentos s y h. El valor que devuelve es del tipo "big float" (bfloat) y n es su número de dígitos.

La función zeta de Hurwitz se define como

 
sum ((k+h)^-s, k, 0, inf)

Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("bffac").

Función: binomial (x, y)

Es el coeficiente binomial x!/(y! (x - y)!). Si x y y son enteros, entonces se calcula el valor numérico del coeficiente binomial. Si y o x - y son enteros, el coeficiente binomial se expresa como un polinomio.

Ejemplos:

 
(%i1) binomial (11, 7);
(%o1)                          330
(%i2) 11! / 7! / (11 - 7)!;
(%o2)                          330
(%i3) binomial (x, 7);
        (x - 6) (x - 5) (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) x
(%o3)   -------------------------------------------------
                              5040
(%i4) binomial (x + 7, x);
      (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) (x + 6) (x + 7)
(%o4) -------------------------------------------------------
                               5040
(%i5) binomial (11, y);
(%o5)                    binomial(11, y)
Función: burn (n)

Devuelve el n-ésimo número de Bernoulli del entero n. La función burn puede ser más eficiente que bern para n grande (mayor que 105, por ejemplo), pues bern calcula todos los números de Bernoulli hasta n antes de devolver el resultado.

La función burn se beneficia del hecho de que los números racionales de Bernoulli pueden aproximarse por funciones zeta con una eficiencia aceptable.

Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("bffac").

Función: cf (expr)

Transforma expr a fracciones continuas. La expresión expr debe contener fracciones continuas y raíces cuadradas de números enteros. Los operandos de la expresión pueden combinarse con operadores aritméticos. Además de fracciones continuas y raíces cuadradas, los factores de la expresión deben ser enteros o números racionales. Maxima no tiene más conocimiento sobre operaciones con fracciones continuas que el que aporta la función cf.

La función cf evalúa sus argumentos después de asignar a la variable listarith el valor false, retornando una fracción continua en forma de lista.

Una fracción continua a + 1/(b + 1/(c + ...)) se representa como la lista [a, b, c, ...], donde los elementos a, b, c, ... se evalúan como enteros. La expresión expr puede contener también sqrt (n) donde n es un entero; en tal caso, cf devolverá tantos términos de la fracción continua como indique el valor de la variable cflength multiplicado por el período.

Una fracción continua puede reducirse a un número evaluando la representación aritmética que devuelve cfdisrep. Véase también cfexpand, que es otra alternativa para evaluar fracciones continuas.

Véanse asimismo cfdisrep, cfexpand y cflength.

Ejemplos:

Función: cfdisrep (lista)

Construye y devuelve una expresión aritmética ordinaria de la forma a + 1/(b + 1/(c + ...)) a partir de la representación en formato lista de la fracción continua [a, b, c, ...].

 
(%i1) cf ([1, 2, -3] + [1, -2, 1]);
(%o1)                     [1, 1, 1, 2]
(%i2) cfdisrep (%);
                                  1
(%o2)                     1 + ---------
                                    1
                              1 + -----
                                      1
                                  1 + -
                                      2
Función: cfexpand (x)

Devuelve la matriz con los numeradores y denominadores de la última (columna 1) y penúltima (columna 2) convergentes de la fracción continua x.

 
(%i1) cf (rat (ev (%pi, numer)));

`rat' replaced 3.141592653589793 by 103993//33102 = 3.141592653011902
(%o1)                  [3, 7, 15, 1, 292]
(%i2) cfexpand (%); 
                         [ 103993  355 ]
(%o2)                    [             ]
                         [ 33102   113 ]
(%i3) %[1,1]/%[2,1], numer;
(%o3)                   3.141592653011902
Variable opcional: cflength

Valor por defecto: 1

La variable cflength controla el número de términos de la fracción continua que devuelve la función cf, que será cflength multiplicado por el período. Así, el valor por defecto será el de un período.

 
(%i1) cflength: 1$
(%i2) cf ((1 + sqrt(5))/2);
(%o2)                    [1, 1, 1, 1, 2]
(%i3) cflength: 2$
(%i4) cf ((1 + sqrt(5))/2);
(%o4)               [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
(%i5) cflength: 3$
(%i6) cf ((1 + sqrt(5))/2);
(%o6)           [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
Función: divsum (n, k)
Función: divsum (n)

La llamada divsum (n, k) devuelve la suma de los divisores de n elevados a la k-ésima potencia.

La llamada divsum (n) devuelve la suma de los divisores de n.

 
(%i1) divsum (12);
(%o1)                          28
(%i2) 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12;
(%o2)                          28
(%i3) divsum (12, 2);
(%o3)                          210
(%i4) 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2;
(%o4)                          210
Función: euler (n)

Devuelve el n-ésimo número de Euler del entero no negativo n.

Para la constante de Euler-Mascheroni, véase %gamma.

 
(%i1) map (euler, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]);
(%o1)    [1, 0, - 1, 0, 5, 0, - 61, 0, 1385, 0, - 50521]
Constante: %gamma

Es la constante de Euler-Mascheroni, 0.5772156649015329 ....

Función: factorial (x)

Representa la función factorial. Maxima considera factorial (x) lo mismo que x!. Véase !.

Función: fib (n)

Devuelve el n-ésimo número de Fibonacci. La llamada fib(0) es igual a 0, fib(1) devuelve 1 y fib (-n) es igual a (-1)^(n + 1) * fib(n).

Después de llamar a fib, la variable prevfib toma el valor fib (x - 1), que es el número de Fibonacci que precede al último calculado.

 
(%i1) map (fib, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]);
(%o1)         [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]
Función: fibtophi (expr)

Expresa los números de Fibonacci en términos de la razón áurea %phi, que es (1 + sqrt(5))/2, aproximadamente 1.61803399.

Por defecto, Maxima desconoce %phi. Tras ejecutar tellrat (%phi^2 - %phi - 1) y algebraic: true, ratsimp puede simplificar algunas expresiones que contengan %phi.

 
(%i1) fibtophi (fib (n));
                           n             n
                       %phi  - (1 - %phi)
(%o1)                  -------------------
                           2 %phi - 1
(%i2) fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
(%o2)          - fib(n + 1) + fib(n) + fib(n - 1)
(%i3) ratsimp (fibtophi (%));
(%o3)                           0
Función: inrt (x, n)

Devuelve la raíz entera n-ésima del valor absoluto de x.

 
(%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$
(%i2) map (lambda ([a], inrt (10^a, 3)), l);
(%o2) [2, 4, 10, 21, 46, 100, 215, 464, 1000, 2154, 4641, 10000]
Función: jacobi (p, q)

Devuelve el símbolo de Jacobi para p y q.

 
(%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$
(%i2) map (lambda ([a], jacobi (a, 9)), l);
(%o2)         [1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]
Función: lcm (expr_1, ..., expr_n)

Devuelve el mínimo común múltiplo de sus argumentos. Los argumentos pueden ser tanto expresiones en general como enteros.

Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("functs").

Función: partfrac (expr, var)

Expande la expresión expr en fracciones parciales respecto de la variable principal var. La función partfrac hace una descomposición completa en fracciones parciales. El algoritmo que se utiliza se basa en el hecho de que los denominadores de la expansión en fracciones parciales (los factores del denominador original) son primos relativos. Los numeradores se pueden escribir como combinaciones lineales de los denominadores.

 
(%i1) 1/(1+x)^2 - 2/(1+x) + 2/(2+x);
                      2       2        1
(%o1)               ----- - ----- + --------
                    x + 2   x + 1          2
                                    (x + 1)
(%i2) ratsimp (%);
                                 x
(%o2)                 - -------------------
                         3      2
                        x  + 4 x  + 5 x + 2
(%i3) partfrac (%, x);
                      2       2        1
(%o3)               ----- - ----- + --------
                    x + 2   x + 1          2
                                    (x + 1)
Función: primep (n)

Devuelve true si n es un número primo, false en caso contrario.

Función: qunit (n)

Devuelve la unidad principal de sqrt (n), siendo n un entero; consiste en la resolución de la ecuación de Pell a^2 - n b^2 = 1.

 
(%i1) qunit (17);
(%o1)                     sqrt(17) + 4
(%i2) expand (% * (sqrt(17) - 4));
(%o2)                           1
Función: totient (n)

Devuelve el número de enteros menores o iguales a n que son primos relativos con n.

Variable opcional: zerobern

Valor por defecto: true

Si zerobern vale false, bern excluye los números de Bernoulli iguales a cero. See bern.

Función: zeta (n)

Devuelve la función zeta de Riemann para x entero negativo, 0, 1 o número par positivo. No se evalúa zeta (n) para cualesquiera otros argumentos, incluyendo racionales no enteros, números en coma flotante o argumentos complejos.

Véanse también bfzeta y zeta%pi.

 
(%i1) map (zeta, [-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]);
                                     2              4
           1        1     1       %pi            %pi
(%o1) [0, ---, 0, - --, - -, inf, ----, zeta(3), ----, zeta(5)]
          120       12    2        6              90
Variable opcional: zeta%pi

Valor por defecto: true

Si zeta%pi vale true, zeta devuelve una expresión proporcional a %pi^n si n es un número par positivo. En caso contrario, zeta no se evalúa y devuelve la forma nominal zeta (n).

 
(%i1) zeta%pi: true$
(%i2) zeta (4);
                                 4
                              %pi
(%o2)                         ----
                               90
(%i3) zeta%pi: false$
(%i4) zeta (4);
(%o4)                        zeta(4)

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