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62.1 Introducción a plotdf | ||
62.2 Definiciones para plotdf |
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La función plotdf
crea un gráfico del campo de direcciones para una
Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de primer orden, o para un sistema de
dos EDO's autónomas, de primer orden.
Para dibujar el campo de direcciones de una única EDO, esa ecución deberá escribirse en la forma siguiente:
dy -- = F(x,y) dx |
y la función F será dada como argumento para el comando
plotdf
. La variable independiente tiene que ser siempre x y la
variable dependiente y. A esas dos variables no podrá estar asociado
ningún valor numérico.
Para dibujar el campo de direcciones de un sistema autónomo de dos EDO's, Las dos ecuaciones deben ser escritas en la forma siguiente
dx dy -- = G(x,y) -- = F(x,y) dt dt |
y el argumento para el comando plotdf
será una lista con dos
expresiones para las funciones F y G.
Cuando se trabaja con una única ecuación, plotdf
asume
implícitamente que x=t
y G(x,y)=1
, transformando la
ecuación en un sistema autónomo con dos ecuaciones.
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[
dxdt,dydt]
,...opciones...)
Dibuja un campo de direcciones en dos dimensiones x and y.
dydx, dxdt y dydt son expresiones que dependen de x y
y. Además de esas dos variables, las dos expresiones pueden depender de
un conjunto de parámetros, con valores numéricos que son dados por medio
de la opción parameters
(la sintaxis de esa opción se explica mas al
frente), o con un rango de posibles valores definidos con la opción
sliders.
Varias otras opciones se pueden incluir dentro del comando, o en el menú que
aparece cuando se hace click en la esquina superior izquierda de la ventana del
gráfico. Haciendo click en un punto del gráfico se puede hacer que sea
dibujada la curva integral que pasa por ese punto; lo mismo puede ser hecho
dando las coordenadas del punto con la opción trajectory_at
dentro del
comando plotdf. La dirección de integración se puede controlar con la
opción direction
, que acepta valores de "forward", "backward" o
"both". El número de pasos realizado en la integración numérica se
controla con la opción nsteps
y el incremento del tiempo en cada paso
con la opción tstep
. Se usa el método de Adams Moulton para hacer la
integración numérica; también es posible cambiar para el método de
Runge-Kutta de cuarto orden con ajuste de pasos.
Menú de la ventana del gráfico:
El menú de la ventana gráfica dispone de las siguientes opciones: "Zoom", que permite cambiar el comportamiento del ratón, de manera que hará posible el hacer zoom en la región del gráfico haciendo clic con el botón izquierdo. Cada clic agranda la imagen manteniendo como centro de la misma el punto sobre el cual se ha hecho clic. Manteniendo pulsada la tecla SHIFT mientras se hace clic, retrocede al tamaño anterior. Para reanudar el cálculo de las trayectorias cuando se hace clic, selecciónese la opción "Integrate" del menú.
La opción "Config" del menú se puede utilizar para cambiar la(s) EDO(S) y algunos otros ajustes. Después de hacer los cambios, se debe utilizar la opción "Replot" para activar los nuevos ajustes. Si en el campo "Trajectory at" del menú de diálogo de "Config" se introducen un par de coordenadas y luego se pulsa la tecla "retorno", se mostrará una nueva curva integral, además de las ya dibujadas. Si se selecciona la opción "Replot", sólo se mostrará la última curva integral seleccionada.
Manteniendo pulsado el botón derecho del ratón mientras se mueve el cursor, se puede arrastrar el gráfico horizontal y verticalmente. Otros parámetros, como pueden ser el número de pasos, el valor inicial de t, las coordenadas del centro y el radio, pueden cambiarse en el submenú de la opción "Config".
Con la opción "Save", se puede obtener una copia del gráfico en una impresora Postscript o guardarlo en un fichero Postscript. Para optar entre la impresión o guardar en fichero, se debe seleccionar "Print Options" en la ventana de diálogo de "Config". Una vez cubiertos los campos de la ventana de diálogo de "Save", será necesario seleccionar la opción "Save" del primer menú para crear el fichero o imprimir el gráfico.
Opciones gráficas:
La función plotdf
admite varias opciones, cada una de las cuales
es una lista de dos o más elementos. El primer elemento es el nombre de
la opción, y el resto está formado por el valor o valores asignados
a dicha opción.
La función plotdf
reconoce las siguientes opciones:
tstep
establece la amplitud de los incrementos en la
variable independiente t, utilizados para calcular la curva
integral. Si se sólo se aporta una expresión dydx, la
variable x será directamente proporcional a
t: x - xinitial = t - tinitial
.
[tstep,0.01] |
El valor por defecto es 0.1.
nsteps
establece el número de pasos de longitud
tstep
que se utilizarán en la variable independiente para
calcular la curva integral.
[nsteps,500] |
El valor por defecto es 100.
direction
establece la dirección de la variable
independiente que será seguida para calcular una curva integral.
Valores posibles son: forward
, para hacer que la variable
independiente aumente nsteps
veces, con incrementos tstep
;
backward
, para hacer que la variable independiente
disminuya; both
, para extender la curva integral nsteps
pasos hacia adelante y nsteps
pasos hacia atrás.
Las palabras right
y left
se pueden utilizar como
sinónimos de forward
y backward
.
[direction,forward] |
El valor por defecto es both
.
tinitial
establece el valor inicial de la variable
t utilizado para calcular curvas integrales. Puesto que las
ecuaciones diferenciales son autónomas, esta opción sólo
aparecerá en los gráficos de las curvas como funciones de t.
[tinitial,6.7] |
El valor por defecto es 0.
versus_t
se utiliza para crear una segunda ventana
gráfica, con el gráfico de una curva integral, como dos funciones
x, y, de variable independiente t. Si se le da a
versus_t
cualquier valor diferente de 0, se mostrará la
segunda ventana gráfica, la cual incluye otro menú, similar
al de la ventana principal.
[versus_t,1] |
El valor por defecto es 0.
trajectory_at
establece las coordenadas xinitial
y yinitial para el extremo inicial de la curva integral.
[trajectory_at,0.1,3.2] |
No tiene asignado valor por defecto.
parameters
establece una lista de parámetros,
junto con sus valores numéricos, que son utilizados en la
definición de la ecuación diferencial. Los nombres de los
parámetros y sus valores deben escribirse en formato de cadena
de caracteres como una secuencia de pares nombre=valor
separados por comas.
[parameters,"k=1.1,m=2.5"] |
sliders
establece una lista de parámetros que
se cambiarán interactivamente utilizando barras de deslizamiento,
así como los rangos de variación de dichos parámetros.
Los nombres de los parámetros y sus rangos deben escribirse en formato
de cadena de caracteres como una secuencia de pares nombre=min:max
separados por comas.
[sliders,"k=0:4,m=1:3"] |
xfun
establece una cadena de caracteres con funciones
de x separadas por puntos y comas para ser representadas por
encima del campo de direcciones. Estas funciones serán interpretadas
por Tcl, no por Maxima.
[xfun,"x^2;sin(x);exp(x)"] |
xradius
es la mitad de la longitud del rango de valores
a representar en la dirección x.
[xradius,12.5] |
El valor por defecto es 10.
yradius
es la mitad de la longitud del rango de valores
a representar en la dirección y.
[yradius,15] |
El valor por defecto es 10.
xcenter
es la coordenada x del punto situado en el centro
del gráfico.
[xcenter,3.45] |
El valor por defecto es 0.
ycenter
es la coordenada y del punto situado en el centro
del gráfico.
[ycenter,4.5] |
El valor por defecto es 0.
width
establece el ancho de la ventana gráfica en
píxeles.
[width,800] |
El valor por defecto es 500.
height
establece la altura de la ventana gráfica en
píxeles.
[width,600] |
El valor por defecto es 500.
Ejemplos:
NOTA: debido a un fallo en openmath
, todas las funciones,
incluida plotdf
, deben terminar en punto y coma, no con
el símbolo de dólar, el cual puede ser válido
en otros contextos gráficos; para evitar problemas, se usará
el punto y coma en los ejemplos.
(%i1) load("plotdf")$ (%i2) plotdf(exp(-x)+y,[trajectory_at,2,-0.1]); |
(%i3) plotdf(x-y^2,[xfun,"sqrt(x);-sqrt(x)"], [trajectory_at,-1,3], [direction,forward], [yradius,5],[xcenter,6]); |
El gráfico también muestra la función y = sqrt(x).
(%i4) plotdf([y,-k*x/m],[parameters,"m=2,k=2"], [sliders,"m=1:5"], [trajectory_at,6,0]); |
(%i5) plotdf([y,-(k*x + c*y + b*x^3)/m], [parameters,"k=-1,m=1.0,c=0,b=1"], [sliders,"k=-2:2,m=-1:1"],[tstep,0.1]); |
(%i6) plotdf([y,-g*sin(x)/l - b*y/m/l], [parameters,"g=9.8,l=0.5,m=0.3,b=0.05"], [trajectory_at,1.05,-9],[tstep,0.01], [xradius,6],[yradius,14], [xcenter,-4],[direction,forward],[nsteps,300], [sliders,"m=0.1:1"], [versus_t,1]); |
Para hacer uso de esta función, ejecútese primero load("plotdf")
.
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